cursus Inleiding Adaptieve Systemen Opleiding Kunstmatige Intelligentie 2020-21

Hoorcollege

Oneindigheid

Kennen

  • De noties “eindig”, “aftelbaar”, “aftelbaar oneindig”, en “overaftelbaar oneindig”.
  • De notie “bijna alle” (Eng.: “almost all”) in de context van 1) een aftelbaar oneindige verzameling 2) een overaftelbaar oneindige verzameling.
  • Definitie van aftelbaarheid dmv. injectie; definitie van aftelbaarheid dmv. surjectie.
  • Combinaties van aftelbare verzamelingen zijn vaak weer aftelbaar: Hilbert's hotel; een aftelbaar Cartesisch product van eindige verzamelingen is een uitzondering hierop, die is vaak overaftelbaar.
  • Eigenschappen van Cantor's kam.
  • Het interval (0, 1) is overaftelbaar.
  • Het verschil tussen discrete en continue verzamelingen (ℕ en ℤ en ℚ enerzijds en ℝ anderzijds); het verschil tussen discrete en continue wiskunde (sommeren en differentievergelijkingen enerzijds, en integreren en differentiaalvergelijkingen anderzijds).
  • Een mogelijke gebeurtenis kan toch kans nul bezitten. Simpel voorbeeld: nooit kop gooien bij het oneindig vaak opgooien van een munt; de realisatie MMMMMMMMM... is mogelijk maar P{ MMMMMMMMM... } = 0. Andere voorbeelden: toevallig een roosterlijn prikken in ℝ2, toevallig een breuk treffen in ℝ.
  • De kansmaat van een aftelbare verzameling in een overaftelbare verzameling is nul.
  • Bi-jectie, gelijkmachtigheid, de notatie ∼, het feit ℝ ∼ (0, 1).
  • Injectie, inbedding, het symbool ≼; de stelling van Schröder-Bernstein: als A ≼ B en B ≼ A, dan A ∼ B.
  • Machtsverzameling (Eng.: power set), notaties 2A en ℘(A); het feit |2A| = 2|A| voor eindige verzamelingen; de notatie BA voor de verzameling van alle functies van A naar B.
  • De Stelling van Cantor die zegt dat elke verzameling minder elementen heeft dan haar machtsverzameling.
  • De rij kardinaalgetallen ℵ0, ℵ1, ℵ2, ... (“Aleph-nul, Aleph-één, Aleph-twee, ...”). Je niet hoeft te weten hoe de rij kardinaalgetallen voorbij oneindig wordt afgeteld.
  • Het kardinaalgetal ℵ0 vertegenwoordigt de klasse van aftelbaar oneindige verzamelingen. De notie “aftelbaar oneindig” correspondeert dus met een kardinaalgetal. De noties “eindig” en “overaftelbaar oneindig” daarentegen niet. (*)
  • Het kardinaalgetal c =Def |ℝ|. De vette c (“fraktur c”) staat dus voor de grootte van het continuüm ℝ.
  • De notatie 2κ =Def |2κ| voor kardinaalgetallen en het feit c = 20 (zie verder bij “Kunnen”).
  • Het vraagstuk c =?1 (“is c, na ℵ0, het volgende kardinaalgetal?”), en de continuümhypothese c = ℵ1 (“ach, waarom ook eigenlijk niet”).
  • (*) Let hier op als naar de grootte van een verzameling wordt gevraagd. Bij overaftelbare verzamelingen is het antwoord dus nooit “overaftelbaar” maar in bijna alle gevallen |ℝ|, tenzij over idioot grote verzamelingen wordt gepraat.

    Kunnen

  • De aftelbaarheid van een verzameling kunnen aantonen, bijvoorbeeld informeel met de zig-zagmethode, of formeel door het construeren van een injectie (of een surjectie de andere kant op).
  • Voorbeelden van overaftelbare verzamelingen kunnen geven.
  • Cantor's diagonaalargument kunnen reproduceren, en ook kunnen ingaan op tegenwerpingen (“ja, maar dan doe je dat laatste getal er toch bij!”, “ja, maar wat met 0.1999999.. en 0.2?”).
  • Voorbeelden kunnen geven van gebeurtenissen die zich kunnen realiseren (kunnen uitkomen) en toch kans nul bezitten.
  • Intervallen uit ℝ gelijkmachtig kunnen praten. (Kan vaak maar niet altijd met lineaire functies.)
  • De stelling van Schröder-Bernstein kunnen toepassen.
  • Het bewijs van de Stelling van Cantor (de stelling die zegt dat elke verzameling minder elementen heeft dan haar machtsverzameling) kunnen reproduceren.
  • Uitleggen waarom c = 20 door een bi-jectie aan te leggen tussen ℝ en een machtsverzameling van een aftelbaar oneindige verzameling.
  • Uitleggen wat de kwestie is bij het vraagstuk c =?1, en dat adoptie van de CH niet vanzelfsprekendheid is. Het is namelijk ook mogelijk om ¬CH te adopteren en daarmee verder te werken.
  • Materiaal

  • Slides Oneindigheid.
  • TCBoN H2.
  • Werkcollegedictaat.

  • Laatst gewijzigd op dinsdag 26 januari 2021, om 17:48 uur ——— translate to ru, ro, or en ——— commentaar welkom